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数の体系と超準モデル
Logic of Arithmetic －Formal Systems and Non-standard Models－

東北大学名誉教授　Ph.D.　田中一之著

Ａ５判／286頁／定価4620円（本体4200円＋税10％）／2002年4月発行
ISBN 978-4-7853-1530-6 （旧ISBN 4-7853-1530-X）　 C3041

　　数学・情報系の学生や、数学の基礎に関心をもつ一般読者を対象に、数の体系について数学基礎論の立場から本格的な解説を与える。
　予備知識の足りない読者のために、本書前半では普遍代数から超準解析まで幅広い話題を簡明にまとめてある。

サポート情報

◎ 訂正表 （著者のWebサイト，pdfファイル）

目次（章タイトル）　　→ 詳細目次

1．等式の体系
2．計算の理論
3．述語論理
4．モデルの理論
5．自然数論　形式体系編
6．自然数論　超準モデル編
7．実数論　代数編
8．実数論　解析編

詳細目次

はしがき／序説

1．等式の体系
　1.1　等式理論　群を例として
　1.2　代数構造と準同型
　1.3　自由代数と Birkhoff の完全性定理
　1.4　ブール代数と可換環

2．計算の理論
　2.1　オートマトンとモノイド
　2.2　テューリング機械
　2.3　計算可能な関数と原始再帰的関数
　2.4　計算可能性と不可能性
　2.5　再帰理論の基礎

3．述語論理
　3.1　言語と構造
　3.2　形式体系GT
　3.3　完全性定理
　3,4　言語の拡張と理論の翻訳

4．モデルの理論
　4.1　初等的部分構造
　4.2　∀理論と∀∃理論
　4.3　ホーン理論と約積
　4.4　超積
　4.5　超準解析入門

5．自然数論　形式体系編
　5.1　ペアノ算術と部分体系
　5.2　定義可能性と表現可能性
　5.3　第一不完全性定理
　　付録　第二不完全性定理
　5.4　プレスバーガー算術と量化記号消去

6．自然数論　超準モデル編
　6.1　超準モデルと過剰原理
　6.2　排除タイプ定理と終拡大
　6.3　再帰的飽和モデルと自己埋め込み定理
　　付録　往復論法
　6.4　麗質モデルと充足関係
　　付録　麗質モデルの応用

7．実数論　代数編
　7.1　実係数の１変数多項式
　7.2　実閉順序体
　7.3　実閉順序体の量化記号消去
　　付録１　Hilbertの第17問題
　　付録２　複素数と零点定理

8．実数論　解析編
　8.1　２階算術と実数の定義
　8.2　代数学の基本定理
　8.3　実数の完備性とコンパクト性
　　付録　Hilbert のプログラム

問題の解答とヒント
文献案内
索引

著作者紹介

田中一之
たなかかずゆき
1955年東京都に生まれる。東京工業大学理学部卒業、カリフォルニア大学バークレー校博士課程修了。東北大学助教授・教授などを歴任。主な著訳書に、『数学基礎論講義』（編著、日本評論社）、『逆数学と２階算術』（河合文化教育研究所）、『数学の基礎をめぐる論争』（編・監訳、シュプリンガー・フェアラーク東京）、『数学のロジックと集合論』（共著、培風館）、『ゲーデルと20世紀の論理学』（全4巻、編著、東京大学出版会）、『ゲーデルの定理』（訳、みすず書房）、『ゲーデルに挑む』『チューリングと超パズル』（以上東京大学出版会）、『ロジックの世界』（訳、講談社）、『逆数学』（監訳、森北出版）などがある。