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数学のとびら　関数解析－基本と考え方－
Functional Analysis －Basics and Ideas－

芝浦工業大学教授　博士（理学）　竹内慎吾著

Ａ５判／304頁／定価3520円（本体3200円＋税10％）／2023年10月10日発行
ISBN 978-4-7853-1210-7　 C3041

　関数解析の基本を、線形代数や微分積分の復習もしながら学べるように解説。バナッハ空間、ヒルベルト空間、線形作用素の性質を理解することを主軸として、できる限り丁寧な説明を心掛けた。とくに、具体的な例と抽象的な空間とがつながっていない学生が意外に多いと感じ、通常なら「当たり前」として省略されている内容も冗長をいとわず述べた。
　本書の大きな特徴のひとつは、関数解析の考え方自体を学ぶには「ルベーグ積分」の知識は必ずしも必要ないと考え、ルベーグ積分を用いる話題を最終章（第7章）にいっさいあと回しにしたことである。第6章までの内容は、ルベーグ積分の知識がない読者でも安心して読むことができる。
　第7章では、微分方程式の境界値問題への応用を見据えて、ルベーグ空間とソボレフ空間について解説した。

◆「数学のとびら」シリーズの特長◆

● 数学科の学部生を対象としたラインナップ。数学的に厳密でありながら、丁寧な解説。
● 各章のはじめに「この章の目標」として何を学ぶかを明示しており、見通しを立てて学習できる。
● 具体例・演習問題を手厚く収め、頭でわかるだけでなく実際の問題に取り組むための力がつく。原則として、すべての問題の解答を収録。
● 本文のはじめに「キーワード表」（“とびらの鍵”）を掲載。どの章で何をするのかの流れを確かめたり、理解した概念にチェックを入れたりできる。

サポート情報

◎ はじめに　 ◎ とびらの鍵　 ◎ 記号索引／事項索引
◎ 正誤表（著者のWebサイトへリンク）

　はじめて関数解析を勉強するならコレ『数学のとびら関数解析』　

目次（章タイトル）　　→ 詳細目次

1．基本的な不等式
2．完備距離空間
3．ノルム空間とバナッハ空間
4．線形作用素と線形汎関数
5．内積空間とヒルベルト空間
6．ルベーグ積分のまとめ
7．ルベーグ空間とソボレフ空間

詳細目次　　

はじめに（pdfファイル）

1．基本的な不等式
　1.1　三角不等式
　1.2　イェンセンの不等式
　1.3　ヤングの不等式
　1.4　ヘルダーの不等式
　1.5　ミンコフスキーの不等式

2．完備距離空間
　2.1　距離空間
　2.2　距離空間の例
　　2.2.1　数空間 $\mathbb{R}^n, \mathbb{C}^n$
　　2.2.2　数列空間 $\ell^2$
　　2.2.3　数列空間 $\ell^p$
　　2.2.4　数列空間 $\ell^\infty$
　　2.2.5　関数空間 $C[a,b]$
　2.3　距離空間の位相
　　2.3.1　点列と収束
　　2.3.2　$C[a,b]$ における収束
　　2.3.3　連続写像とコンパクト集合
　　2.3.4　完備性
　2.4　バナッハの不動点定理
　2.5　ベールのカテゴリー定理

3．ノルム空間とバナッハ空間
　3.1　線形空間
　　3.1.1　線形空間の定義
　　3.1.2　線形空間の例
　　3.1.3　線形部分空間
　　3.1.4　一次結合と次元
　3.2　ノルム空間
　　3.2.1　ノルム空間の定義
　　3.2.2　ノルム空間の位相
　3.3　バナッハ空間
　　3.3.1　バナッハ空間の定義
　　3.3.2　バナッハ空間の例
　3.4　次元とコンパクト性
　　3.4.1　級数
　　3.4.2　ノルム空間の基底
　　3.4.3　有限次元空間の位相
　　3.4.4　有限次元性とコンパクト性

4．線形作用素と線形汎関数
　4.1　線形作用素
　　4.1.1　線形作用素の定義
　　4.1.2　線形作用素の例
　4.2　有界線形作用素
　　4.2.1　有界線形作用素の定義
　　4.2.2　有界性と連続性
　　4.2.3　有界線形作用素の空間
　4.3　逆作用素
　4.4　線形汎関数
　　4.4.1　線形汎関数の定義
　　4.4.2　有界性と連続性
　　4.4.3　有界線形汎関数の例
　4.5　共役空間
　　4.5.1　共役空間の定義と例
　　4.5.2　第二共役空間
　4.6　閉作用素とコンパクト作用素
　　4.6.1　閉作用素
　　4.6.2　コンパクト作用素
　4.7　三つの基本原理
　　4.7.1　一様有界性の原理
　　4.7.2　開写像定理
　　4.7.3　ハーン・バナッハの定理

5．内積空間とヒルベルト空間
　5.1　内積空間
　　5.1.1　内積空間の定義
　　5.1.2　内積から導かれたノルム
　　5.1.3　中線定理
　5.2　ヒルベルト空間
　　5.2.1　ヒルベルト空間の定義
　　5.2.2　ヒルベルト空間の例
　5.3　射影と直交分解
　　5.3.1　閉凸集合と射影作用素
　　5.3.2　直交分解
　5.4　完全正規直交系
　　5.4.1　正規直交系
　　5.4.2　ベッセルの不等式と正射影
　　5.4.3　シュミットの直交化法
　　5.4.4　完全正規直交系とパーセバルの等式
　　5.4.5　可分なヒルベルト空間
　5.5　表現定理
　　5.5.1　リースの表現定理
　　5.5.2　ラックス・ミルグラムの定理
　5.6　弱収束
　　5.6.1　弱収束の定義
　　5.6.2　弱収束の性質
　　5.6.3　弱収束とコンパクト性
　5.7　非拡大写像の不動点定理

6．ルベーグ積分のまとめ
　6.1　ルベーグ積分
　6.2　ルベーグ零集合
　6.3　ルベーグ積分の諸定理
　　6.3.1　リーマン積分との関係
　　6.3.2　収束定理など
　　6.3.3　積分の順序交換
　6.4　ルベーグ積分の計算例
　6.5　ルベーグ流の定義
　　6.5.1　$\sigma$ 加法族と測度
　　6.5.2　ルベーグ式積分の定義
　　6.5.3　ルベーグ積分の定義

7．ルベーグ空間とソボレフ空間
　7.1　ルベーグ空間 $L^p(a,b)$
　　7.1.1　基本的な不等式
　　7.1.2　$L^p(a,b)$ の定義
　　7.1.3　$L^p(a,b)$ の性質
　7.2　ヒルベルト空間としての $L^2(a,b)$
　　7.2.1　$L^2(a,b)$ の内積
　　7.2.2　$L^2(a,b)$ の直交関数系
　7.3　ソボレフ空間 $W^{1,p}(a,b)$
　　7.3.1　ソボレフ空間とは
　　7.3.2　弱導関数
　　7.3.3　$W^{1,p}(a,b)$ の定義
　　7.3.4　$W^{1,p}(a,b)$ から $C[a,b]$ への埋め込み
　　7.3.5　$W_0^{1,p}(a,b)$ の定義
　　7.3.6　$W^{1,p}(a,b)$ と $W_0^{1,p}(a,b)$ の一般化
　7.4　境界値問題への応用
　　7.4.1　微分方程式の弱解
　　7.4.2　弱解の存在証明 I
　　7.4.3　弱解の存在証明 II

章末問題の解答
参考書について
記号索引／事項索引（pdfファイル）

著作者紹介

竹内慎吾
たけうちしんご
1972年東京都に生まれる。早稲田大学教育学部卒業、早稲田大学大学院理工学研究科博士後期課程修了。学習院大学助手、工学院大学講師・准教授、芝浦工業大学准教授を経て現職。専門は非線形微分方程式。主な著書に『理工学のための微分方程式』（共著、培風館）、『Primary大学ノートよくわかる線形代数』『Primary大学ノートよくわかる微分積分』（以上共著、実教出版）がある。

（情報は初版刊行時のものです）

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