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圏論入門 −基礎概念からテンソル圏まで−
Introduction to Category Theory −From Basic Concepts to Tensor Categories−
関西大学教授 博士（理学） 和久井道久 著
Ａ５判／予416頁／定価 円（本体 円＋税10％）／2026年秋刊行予定
ISBN 978-4-7853-1621-1
C3041
昨今重要性が高まっている圏論を、初学向けに具体例を挙げながら解説。冒頭の準備の章において、本文中で圏と関手の例として用いられる数学の基本事項をまとめており、独習に適した構成となっている。後半部分では、発展的内容としてテンソル圏の話題を扱う。
圏論全般の基礎知識が身につくのみならず、その先の想像以上に豊かな圏論の世界を垣間見ることができる、新たな入門書がここに。
基礎知識を携え、その先の“鮮やかな景色”を巡る旅へ――
本書は大きく分けて、準備としての第１章、圏論全般の基礎を解説する第２章から第４章、テンソル圏に特化した内容を扱う第５章から第８章の３部構成となっている。
第１章では復習を兼ねて、集合、群、ベクトル空間、代数、加群、位相空間、結び目、組み紐といった、圏と関手の具体例を与える数学の基礎概念をまとめている。特に、結び目と組み紐は、後述のテンソル圏の理解において本質的な役割を果たす。第２章から第４章では、圏、関手、自然変換、圏同値の定義と例、米田の補題について述べたあと、普遍性と随伴関手、およびアーベル圏の理論を丁寧に解説する。
第５章以降では、テンソル積を備えた圏に関する話題を扱う。マックレーンの連接定理（証明は裳華房Webページに付録として掲載予定）の主張とその意味をはじめ、双対をもつモノイダル圏、組み紐同値とリボン圏などについて解説したのち、最終章では、リボン圏からモノイダル関手を経て構成される結び目不変量と、アーベルモノイダル圏の完全可約性を応用として取り上げる。最後に締めくくりとして、淡中-クレイン再構成の現代的定式化を紹介する。
サポート情報
1．準備
2．圏と関手と自然変換
3．普遍性
4．アーベル圏
5．テンソル圏
6．モノイダル圏における双対
7．組み紐とリボンとモノイダル圏
8．応用
はじめに
1．準備
1.1 集合と写像
1.2 群と準同型写像
1.3 ベクトル空間と線形写像
1.4 代数上の加群と準同型写像
1.5 位相空間と連続写像
1.6 結び目・タングル・組み紐
2．圏と関手と自然変換
2.1 圏の定義と例
2.2 圏における単射と全射と像
2.3 関手の定義と例
2.4 自然変換
2.5 圏同値
2.6 米田の補題と表現可能関手
第2章の問題
3．普遍性
3.1 直積と直和
3.2 射影極限と帰納極限
3.3 随伴関手
3.4 随伴と普遍性
第3章の問題
4．アーベル圏
4.1 零対象をもつ圏
4.2 加法圏
4.3 加法圏における核，余核，像，余像
4.4 アーベル圏
第4章の問題
5．テンソル圏
5.1 モノイダル圏の定義と例
5.2 連接定理
5.3 モノイダル圏同値
第5章の問題
6．モノイダル圏における双対
6.1 閉圏
6.2 モノイダル圏における双対とその一意性
6.3 剛的モノイダル圏
6.4 ピボタル圏とトレース
6.5 剛的モノイダル圏における射のグラフ表示
第6章の問題
7．組み紐とリボンとモノイダル圏
7.1 組み紐モノイダル圏と連接定理
7.2 ツイスト
7.3 組み紐モノイダル圏における双対とツイスト
7.4 リボン圏
第7章の問題
8．応用
8.1 モノイダル関手による結び目不変量の構成
8.2 左剛的アーベルモノイダル圏の完全可約性
参考文献
索引
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和久井 道久
わくい みちひさ
1992年 九州大学大学院理学研究科数学専攻修士課程修了。大阪大学助手、関西大学システム理工学部専任講師を経て現職。主な著書に『量子不変量』（分担執筆、日本評論社）、『大学数学ベーシックトレーニング』（日本評論社）、『代数トポロジーの基礎』（近代科学社Digital）がある。
（情報は初版刊行時から一部変更しています）
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