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本質から理解する 数学的手法
Essential Understanding of Mathematical Methods

東京理科大学教授　博士（工学）　荒木　修・
東京理科大学教授　博士（理学）　齋藤智彦 共著

Ａ５判／210頁／２色刷／定価2530円（本体2300円＋税10％）／2016年11月発行
ISBN 978-4-7853-1570-2　 C3041

　★直観でとらえ，イメージを創ろう！★
　本書は，「数学は得意ではないけれども，嫌いではない．だから何とか根本から理解したい．」という大学理工系諸学科の学生（後輩諸君）のために，同じく学生時代に数学で悩んだ２人の著者が，（先輩）数学ユーザーの立場から執筆した．
　大学の講義や従来の教科書では省略されることが多い前提知識や学ぶ目的こそが本質であると考え，大学理工系の初学年で学ぶ基礎数学について，「この数学を学ぶことにどんな意味があるのか」「何が重要か」「本質は何か」「何の役に立つのか」という問題意識を常に持って考えるためのヒントや解答を記した．
　はじめに第１章を読んでいただいた後は，面白そうなところ，あるいは苦手と感じているテーマの章など，どこから読んでいただいても構わないように記述してある．
　苦手とする数学的手法について，「なるほど！そういうことか！」と一人でも多くの読者が納得していただければ幸いである．

サポート情報

◎ 補足説明 （pdfファイル，2021/1/8更新）
◎ 練習問題 （pdfファイル）　　 ◎ 練習問題解答 （pdfファイル）
◎ まえがき （pdfファイル）　　 ◎ 索引 （pdfファイル）
◎ 正誤表 （pdfファイル）

目次 （章タイトル）　　→ 詳細目次

1．基本の「き」
2．テイラー展開
3．多変数・ベクトル関数の微分
4．線積分・面積分・体積積分
5．ベクトル場の発散と回転
6．フーリエ級数・変換とラプラス変換
7．微分方程式
8．行列と線形代数
9．群論の初歩

詳細目次　　→

まえがき 〜本書の使い方〜 （pdfファイル）

1．基本の「き」
　1.1　数学以前の話
　　1.1.1　言葉と記号の使い方の精度を上げる
　　1.1.2　計算と理解の精度を上げる
　　1.1.3　学び方を身に付ける
　　1.1.4　己の弱点を知る，そして長所を伸ばす
　1.2　「定義」と「性質」について
　1.3　対称性について
　　1.3.1　対称性
　　1.3.2　対称に並べる
　1.4　連続と直線近似 −微分積分の基本コンセプト−
　1.5　関数・場・演算子・写像
　1.6　次元の数
　1.7　ベクトルと成分表示
　1.8　$i$ は幻？
　1.9　平面角と立体角

2．テイラー展開
　2.1　テイラー展開とは？
　2.2　関数を簡単化するツール
　2.3　関数をべき関数の和で表す
　2.4　テイラー展開が満たすべき条件とは？
　2.5　使える！ 近似計算
　2.6　テイラー展開の活用例

3．多変数・ベクトル関数の微分
　3.1　微分とは？
　3.2　ベクトル関数の微分
　3.3　多変数関数の微分
　　3.3.1　偏微分
　　3.3.2　勾配（gradient）
　　3.3.3　３変数関数の勾配と曲面の接平面
　3.4　多変数ベクトル関数の微分
　3.5　多変数関数におけるチェインルール

4．線積分・面積分・体積積分
　4.1　積分とは？
　4.2　線積分
　　4.2.1　スカラー関数の線積分
　　4.2.2　ベクトル関数の線積分
　4.3　スカラー関数の面積分
　　4.3.1　$xy$ 平面上のスカラー関数の面積分
　　4.3.2　曲面上のスカラー関数の面積分
　4.4　流量とベクトル関数の面積分
　　4.4.1　流量
　　4.4.2　ベクトル関数の面積分
　4.5　体積積分

5．ベクトル場の発散と回転
　5.1　ベクトル場の発散と回転を考える理由
　5.2　発散（divergence） −ベクトルの伸び−
　5.3　回転（rotation） −ベクトルのずれ−
　5.4　ガウスの定理とストークスの定理 −1次元ずらす技術−
　　5.4.1　${\rm div} {\boldsymbol A}$ の再定義とガウスの定理
　　5.4.2　${\rm rot} {\boldsymbol A}$ の再定義とストークスの定理
　　5.4.3　微分した関数の積分 −１次元ずらす技術−

6．フーリエ級数・変換とラプラス変換
　6.1　フーリエ級数・フーリエ変換とは？
　6.2　限定範囲を三角関数の和で表現する
　6.3　周期関数を三角関数の和で表現する
　6.4　フーリエ変換とフーリエ逆変換
　6.5　矩形波のフーリエ変換
　6.6　フーリエ変換の３つの重要な性質
　6.7　いろいろな関数のフーリエ変換
　6.8　たたみ込み積分
　6.9　フーリエ変換とラプラス変換の違い
　6.10　ラプラス変換とは？
　6.11　ラプラス変換を用いた微分方程式の解き方

7．微分方程式
　7.1　定係数線形微分方程式とは？
　7.2　変化分を知れば未来がわかる
　7.3　変数値の変化をベクトル場における移動ととらえる
　7.4　ベクトル場と解との関係
　7.5　線形微分方程式の行列表現
　7.6　固有値によって解のタイプがわかる
　7.7　解のタイプをイメージで理解する

8．行列と線形代数
　8.1　線形空間についての基礎知識
　　8.1.1　線形空間
　　8.1.2　線形独立と線形空間の基底
　　8.1.3　線形空間の効用
　8.2　行列の計算ルール
　　8.2.1　線形性と線形写像
　　8.2.2　行列とは線形写像の成分表示である
　　8.2.3　行列の積は連続する線形写像の成分表示である
　8.3　行列の固有値と固有ベクトル
　　8.3.1　固有値と固有ベクトルの計算
　　8.3.2　線形変換と固有値・固有ベクトルとの関係
　8.4　行列の対角化と基底の変換
　　8.4.1　基底の変換
　　8.4.2　行列の対角化
　　8.4.3　行列式と線形変換の「倍率」

9．群論の初歩
　9.1　群とは
　　9.1.1　世の中は群でいっぱい
　　9.1.2　群の定義
　　9.1.3　対称操作は群をなす
　9.2　群についての基礎知識
　　9.2.1　群論に登場する概念
　　9.2.2　積表
　9.3　重要な群の例
　　9.3.1　対称群とあみだくじ
　　9.3.2　巡回群と１の $n$ 乗根と点群 $C_n$
　　9.3.3　位数が３あるいは４の群の構造
　　9.3.4　カリエラ族の婚姻制度
　9.4　群の行列表現
　9.5　群の応用例

参考文献
索引 （pdfファイル）

荒木　修
あらき おさむ
1961年 長崎県に生まれる．東京大学工学部卒業，ボストン大学大学院修士課程修了，東京大学大学院工学系研究科博士課程修了．松下電器産業（株），北陸先端科学技術大学院大学助手，東京理科大学講師・准教授などを経て現職．研究分野は認知神経科学．

齋藤 智彦
さいとう ともひこ
1966年 神奈川県に生まれる．東京大学理学部卒業，東京大学大学院理学系研究科博士課程修了．コロラド大学ボールダー校博士研究員，高エネルギー加速器研究機構助手，東京理科大学講師・准教授などを経て現職．研究分野は固体物理学．

（情報は初版刊行時のものから一部修正しています）

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