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サイコロから学ぶ 確率論 −基礎から確率過程入門へ−
Probability Theory Learned from Dice
中央大学名誉教授 小林道正 著
Ａ５判／224頁／定価2860円（本体2600円＋税10％）／2018年9月発行
ISBN 978-4-7853-1577-1
C3041
確率論は，偶然に起こる現象（偶然現象）における多数回の試行が基礎になっており，「偶然現象に現れる規則性を理論としてまとめたもの」である．そのため，公理系に基づく理論を学習しただけでは確率論を真に理解することはできず，多数回の試行を実際に行って，実験で確かめることがとても大切なのである．
そこで本書は，一般的な確率論の本とは異なるアプローチで，定理の前に偶然現象の解説をし，「厳密な理論と証明」を示した後に，「実際の偶然現象での意味，実験結果との対応を考える問題」を挙げて，身の回りの確率現象を例にしながら理論的な定理の意味を解説するという工夫を行った．これによって，多くの理工系学生が確率論を学んでいる際に感じる「この定理はどういう意味なのか？」という疑問も少なくなり，見通し良く確率論を学ぶことができるであろう．
このように，本書は確率論の基礎とともに実験的な意味も学べる，「目からウロコが落ちる」画期的な教科書・参考書である．
なお，本書では，多数回の試行にMathematicaによるシミュレーションを活用しているが，Mathematicaを持っていない方でも実行結果がわかるように，Mathematicaのプログラムとその実行結果としてのグラフが自由にダウンロードできるようになっているので（下記参照），必要に応じて活用していただきたい．（Mathmaticaを利用しなくても，本書の学習に支障はありません．）
サポート情報
◎ Mathematicaのシミュレーション・プログラム
◎ はじめに （pdfファイル）
◎ 索引 （pdfファイル）
◎ 正誤表 （pdfファイル）
1．確率論の公理
2．確率変数とその性質
3．確率変数の期待値と分散
4．二項分布
5．大数の法則
6．中心極限定理
7．積率母関数
8．特性関数
9．確率過程入門
はじめに （pdfファイル）
1．確率論の公理
1.1 集合論の基礎の復習
1.1.1 集合の部分集合と和
1.1.2 集合の積（共通部分）
1.2 相対頻度の安定性
1.3 相対頻度の安定性から確率論の公理（確率空間）へ
1.3.1 確率論の公理
1.3.2 等確率で起こる場合の確率
1.3.3 確率の基本性質
1.4 確率空間の実例
1.4.1 離散型確率空間の例
1.4.2 連続型確率空間の例
1.5 条件付き確率と乗法定理
1.5.1 条件付き確率の定義
1.5.2 乗法定理
1.5.3 独立性と乗法定理
1.6 ベイズの定理
1.6.1 偶然現象の例
1.6.2 ベイズの定理
2．確率変数とその性質
2.1 確率変数の定義
2.1.1 確率変数から実数上の確率空間へ
2.1.2 離散型確率変数
2.1.3 連続型確率変数の例
2.2 結合分布
2.2.1 離散型結合分布
2.2.2 連続型結合分布
2.3 累積分布関数
2.3.1 累積分布関数の定義
2.3.2 累積分布関数の基本性質
2.3.3 結合分布の累積分布関数
2.3.4 累積分布関数の例
3．確率変数の期待値と分散
3.1 確率変数の期待値
3.1.1 期待値の線形性
3.1.2 確率変数の独立性
3.2 確率変数の分散と標準偏差
3.2.1 具体例からの分散の導入
3.2.2 確率変数の分散と標準偏差の定義
3.2.3 分散の性質
3.3 確率変数列の収束
3.3.1 収束定理
3.3.2 いくつかの収束概念
3.3.3 いくつかの収束概念の関係
4．二項分布
4.1 偶然現象から二項分布へ
4.2 二項分布の定義
4.3 二項分布のグラフ
4.4 二項分布の期待値
4.5 二項分布の分散と標準偏差
4.6 二項分布の具体例
5．大数の法則
5.1 偶然現象の解析から大数の弱法則へ
5.1.1 大数の弱法則（二項分布の場合）
5.1.2 大数の弱法則（一般の分布の場合）
5.2 偶然現象の解析から大数の強法則へ
5.3 大数の強法則の定理
5.3.1 大数の強法則（二項分布の場合）
5.3.2 大数の強法則（一般の場合）
5.4 大数の強法則の定理の証明
6．中心極限定理
6.1 偶然現象の解析から中心極限定理へ
6.2 ド・モアブル‐ラプラスの中心極限定理
7．積率母関数
7.1 積率母関数の定義
7.2 積率母関数の性質
7.3 積率母関数の例
7.3.1 サイコロ投げの例
7.3.2 二項分布の積率母関数
7.3.3 ポアソン分布の積率母関数
7.3.4 正規分布の積率母関数
7.3.5 指数分布の積率母関数
8．特性関数
8.1 特性関数の定義と基本性質
8.1.1 特性関数の定義
8.1.2 離散型確率変数の特性関数
8.1.3 連続型確率変数の特性関数
8.1.4 特性関数の性質
8.2 一般の中心極限定理とその証明
8.2.1 一般の中心極限定理
8.2.2 一般の中心極限定理の証明
9．確率過程入門
9.1 ランダムウォーク
9.1.1 ランダムウォークのサンプルパス
9.1.2 ランダムウォークの数学的表現
9.1.3 ランダムウォークの位置の分布
9.1.4 元に戻ってくる確率
9.1.5 「運の良し悪し」を科学する
9.1.6 対称ではないランダムウォーク
9.1.7 再帰確率
9.1.8 ２次元以上のランダムウォーク
9.2 マルコフ連鎖
9.2.1 初期分布
9.2.2 マルコフ連鎖のサンプルパス
9.2.3 行列の積との対応
9.2.4 マルコフ連鎖の状態の分類
9.2.5 マルコフ連鎖の再帰性
9.2.6 マルコフ連鎖の周期
9.2.7 極限分布
付録
A.1 チェビシェフの不等式
A.2 イェンセンの不等式
A.3 ボレル‐カンテーリの補題
A.4 スターリングの公式
A.5 ウォリスの公式
A.6 大数の強法則の定理の初等的証明
A.7 補題の証明
演習問題の解答
索引 （pdfファイル）
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小林 道正
こばやし みちまさ
1942年 長野県生まれ．京都大学理学部卒業，東京教育大学大学院理学研究科修士課程修了．東京教育大学助手，中央大学助教授，同 教授等を歴任．専門は確率論，数学教育．主な著書に『ファイナンスと確率』『はじめての確率・統計』（以上 朝倉書店），『３日でわかる確率・統計』（ダイヤモンド社）などがある．
（情報は初版刊行時のものから一部修正しています）
経済・経営のための
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