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手を動かしてまなぶトポロジー《基本群》

慶應義塾大学教授　博士（理学）　古宇田悠哉著

Ａ５判／予420頁／定価3960円（本体3600円＋税10％）／2025年12月刊行予定
ISBN 978-4-7853-1614-3　 C3041

★ がんばる初学者・独学者を全力応援！ ★

　代数的トポロジーの主要な手法のひとつ──基本群と被覆空間を、じっくり丁寧に解き明かす。基本群の定義やその計算方法を、豊富なオリジナルの図とともに解説し、その威力を十分に体感できるようにした。本書の“華”は、被覆空間のガロア理論を通じて、基本群の理論と被覆空間の理論が表裏一体であることに到達し、大団円を迎えることである。

　幾何学（位相空間）と代数学（群）という一見異なる分野が結びつき、美しく調和する基本群と被覆空間の世界。本書で、単なる計算や公式を超えた深い洞察を見出し、数学の奥深さを味わってみませんか。

◆本書の特徴◆

● 本文中で読者が行間を埋める必要があるところにアイコンをつけ、その具体的なやり方を別冊「行間を埋めるために」でウェブ公開した（後日公開予定）。self-contained でスムーズに読み進めることができる。
● 全体のあらすじが見渡せるよう、冒頭に「全体の地図」を設けた。
● 基本群の例や例題を豊富に用意し、具体的な基本群の計算を通じて、抽象的な概念を吸収できるようにした。
● かゆいところに手が届くオリジナルの図版を多数掲載した。
● 関連する話題や数学者の話を「よりみち」や「コラム」で紹介した。
● 節末問題の解答について、丁寧で詳細な解答を巻末に載せた。自習学習に役立ててほしい。
● 数学の専門書でしばしば登場するドイツ文字について「ドイツ文字の一覧」（フラクトゥーア体と筆記体）を見返しに掲載した。

◆学びのひろがり◆

● 圏と関手の定義にも簡単に触れ、基本群の共変関手性をやさしく解説した。
● 複素関数論とのつながりを「よりみち」の中で紹介した。
● 基本群の誕生と発展のストーリーを、「コラム」の中で描いた。
● 発展的な項目として、写像トーラスやＣＷ複体の基本群を取り上げた。
● ホモトピー論・ホモロジー論への架け橋となる概念として、${\boldsymbol K}{\textbf{(}}{\boldsymbol G}{\textbf{, 1)}}$空間にも言及した。
● 被覆空間の具体例として、無限巡回被覆空間や極大アーベル被覆空間など、理論的にも応用的にも重要な典型例を丁寧に解説した。

→ 「手を動かしてまなぶ」シリーズの紹介ページへ

サポート情報

目次（章タイトル）　　→ 詳細目次

1．集合・位相・群：速習コース
2．基本群
3．被覆空間
4．部分空間の基本群
5．基本群の計算（その１）
6．基本群の計算（その２）
7．被覆空間のガロア理論

詳細目次

序文
目次
全体の地図
チェックリスト

1．集合・位相・群：速習コース
　§1　集合と写像
　§2　位相空間と連続写像
　§3　位相空間の構成
　§4　位相空間の性質
　§5　群

2．基本群
　§6　本章でまなぶこと
　§7　ホモトピー
　§8　道の積
　§9　基本群の定義
　§10　誘導準同型写像

3．被覆空間
　§11　本章でまなぶこと
　§12　被覆空間の定義
　§13　写像のリフト
　§14　円周の基本群

コラム　基本群の誕生と発展

4．部分空間の基本群
　§15　本章でまなぶこと
　§16　レトラクトと不動点定理
　§17　変形レトラクト

5．基本群の計算（その１）
　§18　本章でまなぶこと
　§19　群の表示
　§20　融合積
　§21　ザイフェルト-ファン・カンペンの定理
　§22　閉曲面の基本群

6．基本群の計算（その２）
　§23　本章でまなぶこと
　§24　写像トーラスの基本群
　§25　グラフの基本群
　§26　CW複体の基本群

7．被覆空間のガロア理論
　§27　本章でまなぶこと
　§28　被覆写像の誘導準同型写像
　§29　被覆写像の同値類
　§30　普遍被覆空間
　§31　群作用とガロア被覆
　§32　被覆写像の分類

問題の詳細解答
参考文献
索引