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複素関数論の基礎

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複素関数論の基礎
Basics of Complex Function Theory

慶応義塾大学教授　博士（情報理工学）　山本直樹 著

Ａ５判／200頁／定価2640円（本体2400円＋税10％）／2015年11月発行
ISBN 978-4-7853-1565-8　 C3041

　読者と共に複素関数論を一からつくり上げる気持ちで執筆された、新しいタイプの入門書。
　複素関数論は実関数論の拡張であることを踏まえ、実関数について復習する章を設け、さらに各章の冒頭に章全体のストーリーを記したことで、「これから何を学ぶのか」「どのように話を進めていくのか」が把握できるようになっている。
　また、定義の動機や概念の本質的意味などの解説に重点を置き、「なぜそのように考えるのか」「なぜそのようなことを考えるのか」ということが、明確に説明されている。

サポート情報

◎ 問題・演習問題 解答解説集 （pdfファイル）
◎ まえがき （pdfファイル）　　　 ◎ 索引 （pdfファイル）
◎ 正誤表 （pdfファイル）

目次 （章タイトル）　　→ 詳細目次

0．複素関数論のための実関数論
1．複素数とは何か
2．複素関数
3．複素関数の微分
4．複素関数の積分
5．級数展開と留数

詳細目次　　→

まえがき （pdfファイル）

0．複素関数論のための実関数論
　0.1　実１変数関数
　　0.1.1　微分
　　0.1.2　積分
　　0.1.3　テイラー展開
　0.2　実２変数関数の微分
　　0.2.1　偏微分
　　0.2.2　全微分
　　0.2.3　方向微分
　0.3　実２変数関数の積分
　　0.3.1　線積分
　　0.3.2　周回積分
　　0.3.3　面積分
　　0.3.4　グリーンの公式
　演習問題

1．複素数とは何か
　1.1　複素数の形式的な取り扱い方
　　1.1.1　定義，計算法，約束事
　　1.1.2　いくつかの定義と性質
　1.2　複素平面
　　1.2.1　定義と使い方
　　1.2.2　極形式
　　1.2.3　複素数の掛け算と回転の関係
　　1.2.4　ド・モアブルの公式
　　1.2.5　複素数を超える数？
　1.3　オイラーの公式
　　1.3.1　直観的導出
　　1.3.2　オイラーの公式が意味すること −複素関数論へ向けて−
　　1.3.3　オイラーの公式の使い方
　演習問題

2．複素関数
　2.1　複素関数
　2.2　平面から平面への変換
　2.3　指数関数と三角関数
　　2.3.1　定義
　　2.3.2　種々の性質
　　2.3.3　三角関数と指数関数の変換則
　2.4　対数関数と累乗関数
　　2.4.1　対数関数
　　2.4.2　累乗関数
　2.5　多項式関数と有理関数
　演習問題

3．複素関数の微分
　3.1　定義と計算法
　3.2　コーシー-リーマン関係式
　3.3　複素微分の再考
　　3.3.1　コーシー-リーマン関係式の別表現
　　3.3.2　実２変数関数に複素微分可能の条件を課すとどうなるか
　　3.3.3　コーシーの積分定理の実２変数関数版
　3.4　正則関数と特異点
　3.5　正則関数の性質
　3.5.1　写像としての微分係数
　3.5.2　等角写像・高階微分・解析接続の直観的理解
　演習問題

4．複素関数の積分
　4.1　定義と基本的な計算法
　　4.1.1　定義
　　4.1.2　複素積分の計算法
　　4.1.3　周回積分による表現 −コーシーの積分定理へ向けて−
　　4.1.4　重要な例 −円上動点のパラメータ表示について−
　4.2　コーシーの積分定理
　　4.2.1　グリーンの公式による証明法
　　4.2.2　直観的証明
　4.3　積分経路の変形
　　4.3.1　変形則１
　　4.3.2　変形則２ −閉経路の場合−
　　4.3.3　閉経路の変形則 −一般化−
　4.4　実定積分への応用
　4.5　コーシーの積分公式
　演習問題

5．級数展開と留数
　5.1　ベキ級数
　　5.1.1　ベキ級数とその収束半径
　　5.1.2　収束半径の評価法
　5.2　ベキ級数展開
　　5.2.1　有理関数のベキ級数展開
　　5.2.2　正則関数のベキ級数展開
　5.3　ローラン展開
　　5.3.1　非正則関数の級数展開
　　5.3.2　ローラン展開
　5.4　留数定理
　　5.4.1　留数と留数定理
　　5.4.2　留数の計算法
　5.5　留数定理についての補足事項
　　5.5.1　留数の定義について
　　5.5.2　留数定理の一般化
　5.6　実定積分への応用 −留数定理による一般化−
　演習問題

付録
　A.1　等角写像
　A.2　一致の定理と解析接続
　A.3　リウビルの定理と代数学の基本定理
　A.4　最大値の定理

問題・演習問題の略解
索引 （pdfファイル）

山本 直樹
やまもと なおき
1976年 生まれ。東京大学工学部卒業、東京大学大学院情報理工学系研究科博士課程修了。カリフォルニア工科大学研究員、オーストラリア国立大学研究員、慶応義塾大学専任講師・准教授を経て現職。研究分野は原子・分子・量子エレクトロニクス、制御・システム工学。

（情報は初版刊行時のものです）

複素解析


複素解析


理工系の数理 複素解析


複素解析へのアプローチ


複素解析概論