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量子力学選書
場の量子論（II）
−ファインマン・グラフとくりこみを中心にして−
Quantum Field Theory II −Focus on Feynman Graphs and Renormalization−
神戸大学准教授 理博 坂本眞人 著
Ａ５判／592頁／定価7150円（本体6500円＋税10％）／2020年9月発行
ISBN 978-4-7853-2512-1
C3042
好評既刊『場の量子論−不変性と自由場を中心にして−』の続刊として、本書ではファインマン・グラフを駆使しつつ、場の量子論において相互作用をどのように取り扱うかをできる限りわかり易く説明し、くりこみなどの理論的枠組みを理解してもらうよう努めた。
論理の飛躍をなくして、議論の流れを一歩一歩着実に追えるよう、他書では省かれているようなことがらにも紙面を割き、特に、すべての式を読者が確実に導けるよう導出過程を省略することなく丁寧に解説した。さらに重要な式に対してはその物理的な意味を詳しく述べた。
※本書は、弊社の図書目録などで『場の量子論 −ゲージ場と摂動論を中心にして−（仮）』とご案内していたものです（サブタイトルを変更しました）。
サポート情報
◎ “check”の解答例と補足（1〜22章すべて；pdfファイル，約10MB）
1章
2章
3章
4章
5章
6章
7章
8章
9章
10章
11章
12章
13章
14章
15章
16章
17章
18章
19章
20章
21章
22章
◎ まえがき
◎ 事項索引／欧文索引 （以上 pdfファイル）
◎ 正誤表 (pdfファイル）
1．場の量子論への招待 −自然法則を記述する基本言語−
2．散乱行列と漸近場
3．スペクトル表示
4．散乱行列の一般的性質とLSZ簡約公式
5．散乱断面積
6．ガウス積分とフレネル積分
7．経路積分 −量子力学−
8．経路積分 −場の量子論−
9．摂動論におけるウィックの定理
10．摂動計算とファインマン・グラフ
11．ファインマン則
12．生成汎関数と連結グリーン関数
13．有効作用と有効ポテンシャル
14．対称性の自発的破れ
15．対称性の自発的破れから見た標準模型
16．くりこみ
17．裸の量とくりこまれた量
18．くりこみ条件
19．$1$ ループのくりこみ
20．$2$ ループのくりこみ
21．正則化
22．くりこみ可能性
まえがき （pdfファイル）
第1章 場の量子論への招待 −自然法則を記述する基本言語−
1.1 本書の目的 −我々は自然の真理の一端をつかむことができたか？−
1.2 記法
1.3 自由場の物理的解釈
1.4 相互作用場の物理的解釈
1.5 相互作用ハミルトニアンの物理的解釈
1.6 場の量子論では何を計算するのか？
1.7 量子論のもう１つの定式化 −ファインマン経路積分−
1.8 偉大な発明 −ファインマン・グラフ−
1.9 力とは何か？ −力に対する新しい見方−
1.10 観測量は，「裸の量」か「くりこまれた量」か？
1.11 対称性と対称性の破れ
1.12 自然を記述する基本言語としての場の量子論
第2章 散乱行列と漸近場
2.1 相互作用をもつ場の量子論と散乱問題
2.2 散乱問題と漸近場
2.3 漸近条件
2.4 ヤン-フェルドマン方程式
2.5 多粒子生成・消滅演算子としての相互作用場
2.6 物理的質量と裸の質量
2.6.1 相互作用場と自由クライン-ゴルドン方程式
2.6.2 $1＋0$ 次元模型
第3章 スペクトル表示
3.1 相互作用場の一般的要請
3.2 スペクトル表示とスペクトル関数
3.3 スペクトル表示の導出
3.4 不変デルタ関数とスペクトル関数の性質
3.5 ファインマン伝播関数と漸近場
第4章 散乱行列の一般的性質とLSZ簡約公式
4.1 散乱行列の一般的性質
4.2 一般的性質の導出
4.2.1 散乱行列の性質（i）の証明
4.2.2 散乱行列の性質（ii）の証明
4.2.3 散乱行列の性質（iii）の証明
4.2.4 散乱行列の性質（iv）の証明
4.2.5 散乱行列の性質（v）の証明
4.3 LSZ簡約公式
4.3.1 T積と生成・消滅演算子
4.3.2 LSZ簡約公式の導出
4.3.3 運動量表示でのLSZ簡約公式
4.3.4 質量殻上のグリーン関数
4.3.5 グリーン関数の極の構造
4.3.6 LSZ簡約公式に対するコメント
4.4 漸近条件と弱極限
4.4.1 弱極限としての漸近条件
4.4.2 弱収束と強収束
4.4.3 弱収束の具体例
4.4.4 リーマン-ルベーグの補題
4.4.5 局在化した波束の構成
4.4.6 漸近条件の数学的定式化
4.4.7 漸近条件の物理的解釈
第5章 散乱断面積
5.1 断面積の幾何学的意味
5.2 $1$ 粒子状態の規格化
5.3 散乱行列と断面積
5.4 不変散乱振幅と断面積
5.5 $2$ 体から $2$ 体への散乱
5.6 崩壊確率
第6章 ガウス積分とフレネル積分
6.1 $1$ 変数ガウス積分
6.2 多変数ガウス積分
6.3 $n$ 点相関関数と生成関数
6.4 フレネル積分
第7章 経路積分 −量子力学−
7.1 ファインマンのアイデア
7.2 シュレディンガー方程式から演算子形式へ
7.3 シュレディンガー描像とハイゼンベルグ描像
7.4 座標と運動量の固有状態
7.4.1 シュレディンガー描像とハイゼンベルグ描像での固有状態
7.4.2 固有状態の時間依存性に関する注意点
7.5 ファインマン核とシュレディンガー方程式
7.6 ファインマン核とファインマンのアイデアの実現
7.7 位相空間での経路積分表示
7.8 配位空間での経路積分表示
7.9 古典極限
7.10 自由粒子の例
7.11 アハロノフ-ボーム効果
7.11.1 アハロノフ-ボーム効果の量子力学的帰結
7.11.2 電子の波動関数と経路積分表示
7.11.3 相対位相の起源
7.12 時間順序積と $n$ 点関数
7.13 $2$ 点グリーン関数と真空の波動関数
7.13.1 演算子形式による $2$ 点グリーン関数の導出
7.13.2 経路積分形式による $2$ 点グリーン関数の導出
第8章 経路積分 −場の量子論−
8.1 多自由度の量力学系に対する経路積分表示
8.2 実スカラー場に対する経路積分表示
8.2.1 実スカラー場の作用積分
8.2.2 空間の離散化
8.2.3 連続極限とスカラー場の経路積分表示
8.3 自由実スカラー場のファインマン伝播関数
8.3.1 自由実スカラー場に対する真空の波動汎関数
8.3.2 真空の波動関数の役割
8.3.3 経路積分による自由ファインマン伝播関数の導出
8.4 真空期待値と $i\,{\varepsilon}$ 処方
8.4.1 実時間から複素時間へ
8.4.2 $n$ 点グリーン関数の経路積分表示と $i\,{\varepsilon}$ 処方
8.5 ${\rm T}$ 積と ${\rm T}^\ast$ 積
8.5.1 ${\rm T}$ 積とローレンツ共変性
8.5.2 経路積分と ${\rm T}^\ast$ 積
8.6 汎関数微分
8.7 シュウィンガー-ダイソン方程式
8.7.1 シュウィンガー-ダイソン方程式の導出法1
8.7.2 シュウィンガー-ダイソン方程式の導出法2
8.7.3 保存則とシュウィンガー-ダイソン方程式
8.8 ユークリッド経路積分と有限温度の場の理論
8.8.1 ユークリッド経路積分
8.8.2 有限温度の場の理論
第9章 摂動論におけるウィックの定理
9.1 経路積分と摂動展開
9.2 $2$ 点グリーン関数の計算
9.3 ウィック縮約とウィックの定理
9.3.1 ウィック縮約
9.3.2 ウィックの定理
第10章 摂動計算とファインマン・グラフ
10.1 ${\lambda}^0$ 次の摂動計算
10.1.1 $2$ 点グリーン関数 $(n=2, k=0)$
10.1.2 $4$ 点グリーン関数 $(n=4, k=0)$
10.2 ${\lambda}^1$ 次の摂動計算
10.2.1 $2$ 点グリーン関数 $(n=2, k=1)$
10.2.2 $4$ 点グリーン関数 $(n=4, k=1)$
10.3 ${\lambda}^2$ 次の摂動計算
10.3.1 $2$ 点グリーン関数 $(n=2, k=2)$
10.3.2 $4$ 点グリーン関数 $(n=4, k=2)$
10.4 対称因子
10.4.1 $1$ 変数の対称因子と指数関数
10.4.2 多変数の対称因子
10.4.3 積分を含んだ量の対称因子
10.4.4 伝播関数を含んだ積分量の対称因子
10.5 ウィックの定理と対称因子
10.5.1 ファインマン・グラフの重複度
10.5.2 重複度と対称因子
10.6 ウィックの定理を用いた重複度の計算
10.7 真空泡グラフとグリーン関数
10.7.1 真空泡グラフの摂動計算
10.7.2 $2$ 点グリーン関数と真空泡グラフ
10.7.3 $n$ 点グリーン関数と真空泡グラフの分離
第11章 ファインマン則
11.1 実空間でのファインマン則
11.2 運動量空間でのファインマン・グラフ
11.2.1 運動量空間での伝播関数
11.2.2 運動量空間での頂点
11.2.3 運動量空間での外線
11.3 運動量空間でのファインマン則
11.3.1 運動量空間でのファインマン則1
11.3.2 運動量空間でのファインマングラフの具体例
11.3.3 ループ運動量
11.3.4 運動量空間でのファインマン則2
第12章 生成汎関数と連結グリーン関数
12.1 グリーン関数の生成汎関数
12.2 生成汎関数の $J^2$ 項と $J^4$ 項
12.3 連結グラフと非連結グラフ
12.4 連結グリーン関数と生成汎関数
第13章 有効作用と有効ポテンシャル
13.1 連結グリーン関数と有効作用
13.2 有効作用とは何者か？
13.2.1 ルジャンドル変換のルジャンドル変換はただの恒等変換
13.2.2 古典極限での有効作用
13.2.3 自由場の有効作用
13.2.4 有効作用は作用積分の量子版？
13.2.5 自由エネルギーとの対応
13.2.6 有効作用とファインマン・グラフ
13.2.7 力学的観点から見た外場 $J$ の役割
13.3 連結グリーン関数と頂点関数の関係
13.3.1 $2$ 点連結グリーン関数と頂点関数
13.3.2 $3$ 点連結グリーン関数と頂点関数
13.3.3 $n$ 点連結グリーン関数と頂点関数
13.4 頂点関数と $1$ 粒子既約なグラフ
13.4.1 $2$ 点連結グリーン関数と $1$ 粒子既約なグラフ
13.4.2 $4$ 点連結グリーン関数と $1$ 粒子既約なグラフ
13.5 有効作用の $1$ 粒子既約性の証明
13.5.1 修正された作用積分と伝播関数
13.5.2 修正された伝播関数の幾何学的役割
13.5.3 ${\mathit{\Gamma}}_{\alpha}[{\varphi}]$ の ${\alpha}$ 依存性と ${\mathit{\Gamma}}{\;}[{\varphi}]$ の $1$ 粒子既約性
13.6 散乱断面積とグリーン関数の関係
13.7 湯川ポテンシャルと力を媒介する粒子
13.8 $\hbar$ 展開とループ展開
13.9 量子作用積分としての有効作用
13.10 有効作用とエネルギー
13.10.1 連結グリーン関数の生成汎関数とエネルギーの関係
13.10.2 有効作用とエネルギーの関係
13.11 有効ポテンシャルと場の真空期待値
13.12 有効作用の不変性
13.13 有効作用の経路積分表示
13.14 有効ポテンシャルとループ展開
13.15 有効ポテンシャルの $1$ ループ計算
13.16 紫外発散
13.17 くりこみのアイデア
13.18 有限温度での $1$ ループ有限ポテンシャル
13.18.1 有限温度 $1$ ループ有効ポテンシャルの表式
13.18.2 有限温度 $1$ ループ有効ポテンシャルと紫外発散
13.18.3 高温展開と質量の有限温度補正
第14章 対称性の自発的破れ
14.1 対称性と対称性の破れ
14.1.1 明示的な破れ
14.1.2 対称性の自発的破れ
14.1.3 量子化に伴う古典的対称性の破れ
14.2 対称性の破れに対する幾何学的イメージ
14.3 保存量のもう１つの役割
14.3.1 無限小変換の生成子としての保存量
14.3.2 相対論的不変性と真空状態
14.3.3 相対論的不変性と真空期待値
14.3.4 保存量と真空状態
14.4 対称性の自発的破れの指標
14.5 $Z_2$ 対称性の破れ
14.6 連続的対称性の破れとゼロ質量粒子
14.6.1 $O(2)$ シグマ模型
14.6.2 真空期待値と $O(2)$ 対称性の自発的破れ
14.6.3 連続的対称性の破れとゼロ質量粒子の出現
14.6.4 NGボソンの非線形実現とシフト対称性
14.6.5 対称性の自発的破れと明示的破れの違い
14.7 $O(N)$ シグマ模型
14.7.1 $O(N)$ シグマ模型と真空期待値
14.7.2 $O(N)$ 対称性の破れと破れていない対称性
14.7.3 群 $O(N)$ と生成子
14.7.4 真空期待値周りの場の展開とNGボソン
14.7.5 NGボソンに対する低エネルギー有効理論
14.8 縮退した真空状態の直交性
14.9 マーミン-ワグナー-コールマンの定理
14.10 南部-ゴールドストンの定理の一般証明1
14.10.1 有効ポテンシャルを用いた南部-ゴールドストンの定理
14.10.2 有効ポテンシャルの具体例1（量子効果）
14.10.3 有効ポテンシャルの具体例2（有限温度効果）
14.11 南部-ゴールドストンの定理の一般証明2
14.11.1 保存カレントと場の交換関係
14.11.2 保存カレントの交換関係とスペクトル表示
14.11.3 中間状態とゼロ質量 $1$ 粒子状態
14.11.4 NGボソンの性質
第15章 対称性の自発的破れから見た標準模型
15.1 $SU(2)×U(1)_Y$ ゲージ対称性とヒッグス場の真空期待値
15.2 ゲージボソンの質量とゲージ対称性の破れ
15.3 $U(1)_{\rm em}$ ゲージ対称性と電荷
15.3.1 クォーク，レプトン，ヒッグス場の電荷
15.3.2 ゲージボソンの電荷
15.4 ヒッグス機構
15.4.1 可換ヒッグス模型
15.4.2 可換ヒッグス模型と真空期待値周りの展開
15.4.3 物理的自由度とユニタリーゲージ
15.4.4 物理的自由度とヒッグス機構
15.5 標準模型におけるヒッグス機構
15.6 ユニタリーゲージにおけるゲージ場とヒッグス場
15.7 クォーク・レプトンの質量起源
15.7.1 標準模型におけるクォークとレプトン
15.7.2 レプトンの質量生成
15.7.3 クォークの質量生成
15.7.4 クォーク・レプトン質量に対するいくつかのコメント
15.8 クォーク質量行列の対角化と世代間混合
15.8.1 一般の湯川相互作用
15.8.2 クォーク質量行列の対角化
15.8.3 世代間混合
15.9 CP対称性の破れ
第16章 くりこみ
16.1 くりこみの必要性
16.2 $1$ ループグラフの発散
16.3 見かけの発散次数
16.4 外線の数と見かけの発散次数
16.5 $E=6$ の $2$ ループグラフ
16.5.1 $E=6$ の $2$ ループグラフの発散
16.5.2 $2$ ループグラフと部分グラフの発散
16.6 次数勘定定理
16.7 任意のループグラフと部分グラフの発散
第17章 裸の量とくりこまれた量
17.1 くりこまれた摂動論と相殺項
17.2 くりこまれた摂動論とファインマン則
17.3 裸の頂点関数とくりこまれた頂点関数
17.3.1 物理量と頂点関数
17.3.2 裸のグリーン関数とくりこまれたグリーン関数
17.3.3 裸の頂点関数とくりこまれた頂点関数
第18章 くりこみ条件
18.1 相殺項の任意性
18.2 質量殻上のくりこみ条件
18.3 くりこみ条件の物理的意味
18.3.1 相殺項のパラメータの決定
18.3.2 ループ補正とくりこみ条件
18.3.3 くりこみ条件と発散の除去
18.4 くりこまれた結合定数と観測量の関係
18.5 くりこみ条件の一般化
18.5.1 中間的くりこみ条件
18.5.2 摂動論的くりこみ条件
18.5.3 くりこまれた質量と物理的質量
18.6 有限くりこみ
18.6.1 異なるくりこみ処方箋の間の関係
18.6.2 頂点関数と有限くりこみ
第19章 $1$ ループのくりこみ
19.1 $2$ 点頂点関数の $1$ ループ量子補正
19.2 くりこまれた $2$ 点頂点関数と発散の除去
19.3 $4$ 点頂点関数の $1$ ループ量子補正
19.4 くりこまれた $4$ 点頂点関数と発散の除去
19.5 外線運動量と発散の関係
19.6 結合定数に対する新しい解釈
第20章 $2$ ループのくりこみ
20.1 中間的くりこみ条件と $1$ ループ相殺項
20.2 $2$ ループ $4$ 点頂点関数のファインマン・グラフ
20.3 $2$ ループ $4$ 点頂点関数のくりこみ ${\rm I}_s$
20.4 $2$ ループ $4$ 点頂点関数のくりこみ ${\rm II}_s$
20.4.1 部分グラフの発散と相殺グラフ
20.4.2 不確定性関係から見た相殺グラフの幾何学的意味
20.4.3 グループ ${\rm II}_s$ のグラフのくりこみ
20.5 $2$ ループ $4$ 点頂点関数のくりこみ ${\rm III}_s$
20.6 $2$ ループ $2$ 点頂点関数とファインマン・グラフ
20.7 $2$ ループ $2$ 点頂点関数のくりこみ ${\rm V}$
20.8 $2$ ループ $2$ 点頂点関数のくりこみ ${\rm VI}$
20.8.1 波動関数のくりこみと重複発散
20.8.2 重複発散部分グラフの相殺
20.8.3 $2$ ループ重複発散のくりこみ
20.9 ループ展開とくりこみの一般的手続き
20.9.1 ループ展開における部分グラフの相殺
20.9.2 次数勘定定理と見かけの発散次数
20.9.3 外線運動量の展開と発散の次数
20.9.4 相殺項による発散の除去
第21章 正則化
21.1 運動量切断正則化
21.2 パウリ-ヴィラス正則化
21.3 パウリ-ヴィラス正則化と $4$ 点頂点関数のくりこみ
21.4 パウリ-ヴィラス正則化と $2$ 点頂点関数のくりこみ
21.5 次元正則化のアイデアと利点
21.6 次元正則化と $2$ 点頂点関数のくりこみ
21.7 次元正則化と $4$ 点頂点関数のくりこみ
21.8 次元正則化における注意点
21.9 ${\rm MS}$ スキームと $\overline{\rm MS}$ スキーム
21.10 ループ積分で使われる有用な公式
21.10.1 ガンマ関数
21.10.2 ベータ関数
21.10.3 ファインマンのパラメータ公式
21.10.4 次元正則化で使われるループ運動量積分の公式
21.10.5 次元正則化におけるベクトルとテンソル
21.10.6 (21.59)の証明
第22章 くりこみ可能性
22.1 自然の法則を記述する言語としての場の量子論
22.2 相互作用と次元解析
22.3 一般の相互作用に対する見かけの発散次数
22.4 相殺項
22.5 くりこみ可能性と理論の分類
22.5.1 超くりこみ可能な理論 $([g_j]>0, {\;}[O_j]<4)$
22.5.2 くりこみ可能な理論 $([g_j]{\:}{\geq}{\:}0, {\;}[O_j]{\:}{\leq}{\:}4)$
22.5.3 くりこみ不可能な理論 $([^{\exists}g_j]<0, {\;}[^{\exists}O_j]>4)$
22.6 くりこみ可能な理論としての標準模型
22.7 くりこみ不可能な理論は意味のない理論か？
22.7.1 $4$ 体フェルミ相互作用
22.7.2 くりこみ不可能な相互作用の低エネルギーでの振舞
22.7.3 非局所的補正項
事項索引／欧文索引
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坂本 眞人
さかもと まこと
1985年 九州大学大学院理学研究科博士後期課程修了。日本学術振興会奨励研究員、京都大学基礎物理学研究所研究員、神戸大学助手・助教などを経て現職。
（情報は初版刊行時のものから一部修正しています）
場の量子論
場の量子論
場の理論
相対論的量子力学
経路積分
多粒子系の量子論
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